先证满射。对任意，有所以存在使得Df(x)=f’(x)=g(x)，即D是V到V上的满射。

再证单射。对于f₁(x)=a₁cosx+b₁sinx∈V和f₂(x)=a₂cosx+b₂sinx∈V ，如果f₁(x)≠f₂(x)，则对于任意x∈R都成立，所以a₁=a₂和b₁=b₂不同时成立。

Df₁(x)=-a₁sinx+b₁cosx，Df₂(x)=-a₂sinx+b₂cosx则Df₁(x)≠Df₂(x)。若不然,有Df₁(x)=-a₁sinx+b₁cosx=-a₂sinx+b₂cosx=Df₂(x)对任意x∈R都成立。当x=0时,有b₁=b₂；当时，有a₁=a₂，与“f₁(x)≠f₂(x)，时 a₁=a₂和b₁=b₂不同时成立。”相矛盾。即证得D是V到V上的单射。

相关知识点

设f是从集合A到集合B的映射，

若f(A)=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，则称f为A到B上的满射；

若对A中任意两个不同元素a₁≠a₂，它们的像f(a₁) ≠f(a₂),则称f为A到B的单射；

若映射f既是单射，又是满射，则称映射f为A到B的"双射”(或“一一映射”)。